LATIHAN MATEMATIKA DISKRIT PERTEMUAN 4

Pertemuan 4

Pilihan Ganda

SOAL-SOAL LATIHAN

1. Kaidah dasar perhitungan yaitu penjumlahan dan perkalian digunakan dalam…

a. Kombinatorial       d. Relasi

b. Permutasi          e. Induksi matematika

c. Kombinasi

2. Suatu pengurutan data dimana urutan tidak diperhatikan adalah definisi .....

a. Permutasi           d. Relasi

b. Kombinasi           e. Fungsi

c. Himpunan

3. Penyusunan obyek dimana sebagian obyek sama disebut dengan ..... 

a. Permutasi bentuk umum          b. Kombinasi bentuk umum

c. Kombinasi perulangan              d. Permutasi perulangan

e. a dan b benar

4. Hasil perhitungan dari P(8,3) adalah ....

a. 6720     b. 240      c. 336      d. 520      e. 56

Pembahasan :

P(8,3)= 8!/(8-3)!

     = 8!/5!

     = 8.7.6.5.4.3.2.1/5.4.3.2.1

     = 336

5. Hasil perhitungan dari C((6,3)C(4,2) adalah ....

a. 2     b. 6      c. 1440       d. 120      e. 14

Pembahasan :

C(6,3).C(4,2) = 6!/3!(6-3)! x 4!/2!(4-2)!

           =  6!/3!3! x 4!/2!2!

           = 6.5.4.3.2.1/3.2.1.3.2.1 x 4.3.2.1/2.1.2.1

           = 120/6 x 12/2

             = 20 x 6

             = 120

Esai 

1. Empat buah ujian dilakukan dalam periode enam hari. Berapa banyak pengaturan jadwal yang dapat dilakukan sehingga tidak ada dua ujian atau lebih yang dilakukan pada hari yang sama.

Jawab:

Dik n=6  r=4

Dit P(6,4)?

P(n,r) = n!/(n-r)!

P(6,4) = 6!/(6-4)!

     = 6!/2!

     = 6.5.4.3.2.1/2.1

     = 360 cara

2. Berapa banyak string yang dapat dibentuk yang terdiri dan 4 huruf berbeda dan 3 angka yang berbeda pula ?

Jawab : n = 4+3

P(7;4,3) = 7!/4!3!

       = 7.6.5.4!/4!3!

       = 7.6.5/3.2.1

       = 210/6

       = 35

3. Berapakah jumlah kemungkinan membentuk 3 angka dari 5 angka berikut : 1,2,3,4,5 jika :

i.  Tidak boleh ada pengulangan angka

  = P(5,3) = 5!/(5-3)!

         = 5!/2!

         = 5.4.3.2.1/2.1

         = 60 cara

 ii. Boleh ada pengulangan angka

   = 5³

   = 125

4.  String biner yang panjangnya 32 bit disusun oleh digit 1 dan 0. berapa banyak string biner yang tepat berisi 7 buah bit 1 ?

Jawab : C(32,7) = 32!/7!(32-7)!

             = 32!/7!25!

             = 3365856

5. Sebuah karakter dalam sistem ASCII berukuran 1 byte atau 8 bit ( 1 atau 0)

a. Berapa banyak pola bit terbentuk ? (atau berapa banyak karakter yang dapat dipresentasikan ?)

Jawab: 2ⁿ

      = 2⁸

      = 256

b. Berapa banyak pola bit yang mempunyai 3 bit 1 ?

Jawab: C(8,3) = 8!/3!(8-3)!

           = 8!/3!5!

           = 8.7.6.5!/3!5!

           = 8.7.6/3.2.1

           = 336/6

           = 56

c. Berapa banyak pola bit yang mempunyai bit 1 sejumlah genap ?

Jawab :

* banyaknya pola bit yang mempunyai 2 bit 1

  C(8,2) = 8!/2!(8-2)!

        = 8!/2!6!

        = 8.7.6.5.4.3.2.1/2.1.6.5.4.3.2.1

        = 56/2

        = 28

*  banyaknya pola bit yang mempunyai 4 bit 1

C(8,4) = 8!/4!(8-4)!

      = 8!/4!4!

      = 8.7.6.5.4!/4!4!

      = 8.7.6.5/4.3.2.1

      = 1680/24

      = 70    

* banyaknya pola bit yang mempunyai 6 bit 1

 C(8,6) = 8!/6!(8-6)!

      = 8!/6!2!

      = 8.7.6!/6!2!

      = 8.7/2.1

      = 56/2

      = 28

Total pola bit 1 sejumlah genap adalah

C(8,2) + C(8,4) + C(8,6)

= 28 + 70 + 28

= 127 pola

    

6. Suatu penitia akan dibentuk dengan 5 orang. Berapa carakah pembentukan panitia tersebut dapat dialkukan jika calon anggota terdiri dari 4 orang pria dan 3 orang wanita dan panitia harus

a. Terbentuk tanpa persyaratan lain

  Jawab : C(7,5) = 7!/5!(7-5)!

              = 7!/5!2!

              = 7.6.5!/5!2!

              = 7.6/2.1

              = 42/2

              = 21 cara

b. Terdiri 3 pria dan 2 wanita

  Jawab : C(4,3) x C(3,2)

        = 4!/3!(4-3)!  x  3!/2!(3-2)!

        = 4!/3!1!     x  3!/2!1!

        = 4.3!/3!     x  3.2!/2!

        = 4 x 3

        = 12 cara

c. Terdiri 2 pria dan 3 wanita

  Jawab : C(4,2) x C(3,3)

       = 4!/2!(4-2)!  x  3!/3!(3-3)!

       = 4!/2!2!    x 3!/3!

       = 4.3.2!/2!2!  x 3!/3!

       = 4.3/2.1  x 1

       = 12/2 = 6

Anggota kelompok ;

Ø Chika Adelia (12190217)

Ø Kenny Agusti Leobardo Boyani (12190210)

Selamat Mengerjakan

LATIHAN MATEMATIKA DISKRIT PERTEMUAN 2

Pertemuan 2

Selidiki jenis Fungsi atau bukan, fungsi satu-ke-satu atau bukan, fungsi pada atau bukan.

1. A={1,2,3,4} dan B={u,v,w} diberikan f={(1,u),(2,v),(3,w)}

    Jawab: Fungsi satu-ke-satu 

2. A={1,2,3} dan B={u,v,w} diberikan f={(1,u),(1,v),(2,v),(3,w)}

    Jawab: Fungsi pada, bukan fungsi satu-ke-satu.

3. A={1,2,3} dan B={u,v,w,x} diberikan f={(1,w),(2,u),(3,v)}

    Jawab: Fungsi satu-ke-satu, bukan fungsi pada.

4. A={1,2,3} dan B={u,v,w} diberikan f= {(1,u),(2,u),(3,v)}

    Jawab: Fungsi pada.

5. A={1,2,3} dan B={u,v,w} diberikan f = {(1,u),(2,w),(3,v)}

    Jawab: Fungsi satu-ke-satu

Anggota kelompok ;

Ø Chika Adelia (12190217)

Ø Kenny Agusti Leobardo Boyani (12190210)

LATIHAN MATEMATIKA DISKRIT PERTEMUAN 3

Latihan Pertemuan 3

A. PILIHAN GANDA

1. Dalam Untuk menyatakan kuantitas suatu objek proposisi digunakan notasi yang disebut…….

a. Elemen             d. Relasi

b. kuantor            e. Fungsi

c. refleksif

2. Untuk menunjukkan kuantitas obyek beberapa disimbolkan/ dinotasikan dengan…….

a. ∃

b. ⩝

c. ῼ

d. ∑

e. Π

3. Negasi / ingkaran dari ∃X adalah………

a.  ∃x

b. ⩝x

c. ῼx        

d. ∑x        

e.  Πx

4. Pernyataan p(1) benar dalam Induksi Matematika disebut dengan……..

a. Langkah Induksi      d. Hipotesis induksi

b. Hipotesis             e. Induksi Matematika

c. Basis induksi

5. Teknik pembuktian yang baku dalam matematik, khususnya menyangkut bilangan bulat positif disebut dengan…….

a. Langkah Induksi           d. Hipotesis induksi

b. Hipotesis                 e. Induksi Matematika 

c. Basis induksi

B. Essai 

Buktikan dengan induksi matematik !

1. Jumlah n buah bilangan ganjil positif pertama adalah n²

  Jawab :   1²=1

                    Langkah induksi: misalkan p(n) benar, yaitu asumsikan bahwa

                    1 + 3 + 5 + .... + (2n-1) = n²adalah benar (hipotesis induksi) [catatlah bahwa bilangan ganjil positif ke-n adalah (2n-1)]

                    Kita harus memperlihatkan bahwa p(n + 1) juga benar, yaitu

                    1 + 3 + 5 +....+ (2n-1) + (2n + 1) = (n + 1)²

                    Hal ini dapat kita tunjukkan sebagai berikut:

                    1 + 3 + 5 + .... + (2n - 1) + (2n + 1) = [1 + 3 +5 + .... + (2n-1) + (2n +1)

                                                                    = n² + (2n + 1)

                                                                    = n² + 2n + 1

                                                                    = (n + 1)²

2. Untuk semua n ≥ 1 maka adalah n³+2n adalah kelipatan 3

  Jawab :

(i) Basis induksi

Untuk n=1, maka n³+2n

=1³+2(1)

=1 + 2

= 3

Terbukti benar

(ii) Langkah induksi

   Misalkan p(n) benar, yaitu proposisi n³+ 2nadalah kelipatan 3. kita harus memperlihatkan bahwa p(n+1) juga benar, yaitu (n+1)³+2(n+1) adalah kelipatan 3. Hal ini dapat kita tunjukkan sebagai berikut:

(n+1)³+2(n+1) = (n³+3n²+3n+1)+(2n+2)

             = (n³+2n)+3n²+3n + 3

             = (n³+2n) + 3(n²+ n + 1)

l (n³+2n) adalah kelipatan 3

l 3(n²+ n + 1) juga kelipatan 3

l Maka  (n³+2n) + 3(n²+ n + 1) adalah jumlah dua buah bilangan kelipatan 3

l Sehingga  (n³+2n) + 3(n²+ n + 1) juga kelipatan 3.

Karena langkah (I) dan (ii) sudah dibuktikan benar, maka terbukti bahwa untuk semua n≥1, n³+2n adalah kelipatan 3.

2.  1·2 + 2·3 + 3·4 +…+ n(n+1) = n(n+1)(n+2)/3

   Jawab :                         

* untuk n=1

p(n)= 1.2 = n(n+1)(n+2)/3

            2 = 1(1+1)(1+2)/3

2 = 1(2)(3)/3

            2 = 1(6)/3

            2 = 6/3

            2 = 2

TERBUKTI BENAR.

* karena p(1) benar maka

  P(2) = 1.2 + 2.3 = 2(2+1)(2+2)/3

            2+6 = 2(3)(4)/3

             8  = 2(12)/3

             8  = 24/3

             8  = 8

Terbukti benar hingga diperoleh n=k

P(k) = 1·2 + 2·3 + 3·4 +…+ k(k+1) = k(k+1)(k+2)/3

Akan ditunjukan bahwa n= k+1, sehingga

P(k+1) = 1·2 + 2·3 + 3·4 +…+ (k+1).((k+1)+1) = (k+1)((k+1)+1)((k+1)+2)/3

            = k(k+1)(k+2)/3 + (k+1)(k+2) = (k+1)(k+2)(k+3)/3

            = k(k+1)(k+2)/3 + 3(k+1)(k+2)/3 = (k+1)(k+2)(k+3)/3

            = (k+1)(k+2)(k+3)/3 =  (k+1)(k+2)(k+3)/3

                          

Dengan demikian terbukti bahwa

1·2 + 2·3 + 3·4 +…+ n(n+1) = n(n+1)(n+2)/3

   Karena memenuhi kedua prinsip induksi matematika.     

Anggota kelompok ;

Ø Chika Adelia (12190217)

Ø Kenny Agusti Leobardo Boyani (12190210)

Terima kasih