Latihan Pertemuan 3
A. PILIHAN GANDA
1. Dalam Untuk menyatakan kuantitas suatu objek proposisi digunakan notasi yang disebut…….
a. Elemen d. Relasi
b. kuantor e. Fungsi
c. refleksif
2. Untuk menunjukkan kuantitas obyek beberapa disimbolkan/ dinotasikan dengan…….
a. ∃
b. ⩝
c. ῼ
d. ∑
e. Π
3. Negasi / ingkaran dari ∃X adalah………
a. ∃x
b. ⩝x
c. ῼx
d. ∑x
e. Πx
4. Pernyataan p(1) benar dalam Induksi Matematika disebut dengan……..
a. Langkah Induksi d. Hipotesis induksi
b. Hipotesis e. Induksi Matematika
c. Basis induksi
5. Teknik pembuktian yang baku dalam matematik, khususnya menyangkut bilangan bulat positif disebut dengan…….
a. Langkah Induksi d. Hipotesis induksi
b. Hipotesis e. Induksi Matematika
c. Basis induksi
B. Essai
Buktikan dengan induksi matematik !
1. Jumlah n buah bilangan ganjil positif pertama adalah n²
Jawab : 1²=1
Langkah induksi: misalkan p(n) benar, yaitu asumsikan bahwa
1 + 3 + 5 + .... + (2n-1) = n²adalah benar (hipotesis induksi) [catatlah bahwa bilangan ganjil positif ke-n adalah (2n-1)]
Kita harus memperlihatkan bahwa p(n + 1) juga benar, yaitu
1 + 3 + 5 +....+ (2n-1) + (2n + 1) = (n + 1)²
Hal ini dapat kita tunjukkan sebagai berikut:
1 + 3 + 5 + .... + (2n - 1) + (2n + 1) = [1 + 3 +5 + .... + (2n-1) + (2n +1)
= n² + (2n + 1)
= n² + 2n + 1
= (n + 1)²
2. Untuk semua n ≥ 1 maka adalah n³+2n adalah kelipatan 3
Jawab :
(i) Basis induksi
Untuk n=1, maka n³+2n
=1³+2(1)
=1 + 2
= 3
Terbukti benar
(ii) Langkah induksi
Misalkan p(n) benar, yaitu proposisi n³+ 2nadalah kelipatan 3. kita harus memperlihatkan bahwa p(n+1) juga benar, yaitu (n+1)³+2(n+1) adalah kelipatan 3. Hal ini dapat kita tunjukkan sebagai berikut:
(n+1)³+2(n+1) = (n³+3n²+3n+1)+(2n+2)
= (n³+2n)+3n²+3n + 3
= (n³+2n) + 3(n²+ n + 1)
l (n³+2n) adalah kelipatan 3
l 3(n²+ n + 1) juga kelipatan 3
l Maka (n³+2n) + 3(n²+ n + 1) adalah jumlah dua buah bilangan kelipatan 3
l Sehingga (n³+2n) + 3(n²+ n + 1) juga kelipatan 3.
Karena langkah (I) dan (ii) sudah dibuktikan benar, maka terbukti bahwa untuk semua n≥1, n³+2n adalah kelipatan 3.
2. 1·2 + 2·3 + 3·4 +…+ n(n+1) = n(n+1)(n+2)/3
Jawab :
* untuk n=1
p(n)= 1.2 = n(n+1)(n+2)/3
2 = 1(1+1)(1+2)/3
2 = 1(2)(3)/3
2 = 1(6)/3
2 = 6/3
2 = 2
TERBUKTI BENAR.
* karena p(1) benar maka
P(2) = 1.2 + 2.3 = 2(2+1)(2+2)/3
2+6 = 2(3)(4)/3
8 = 2(12)/3
8 = 24/3
8 = 8
Terbukti benar hingga diperoleh n=k
P(k) = 1·2 + 2·3 + 3·4 +…+ k(k+1) = k(k+1)(k+2)/3
Akan ditunjukan bahwa n= k+1, sehingga
P(k+1) = 1·2 + 2·3 + 3·4 +…+ (k+1).((k+1)+1) = (k+1)((k+1)+1)((k+1)+2)/3
= k(k+1)(k+2)/3 + (k+1)(k+2) = (k+1)(k+2)(k+3)/3
= k(k+1)(k+2)/3 + 3(k+1)(k+2)/3 = (k+1)(k+2)(k+3)/3
= (k+1)(k+2)(k+3)/3 = (k+1)(k+2)(k+3)/3
Dengan demikian terbukti bahwa
1·2 + 2·3 + 3·4 +…+ n(n+1) = n(n+1)(n+2)/3
Karena memenuhi kedua prinsip induksi matematika.
Anggota kelompok ;
Ø Chika Adelia (12190217)
Ø Kenny Agusti Leobardo Boyani (12190210)
Terima kasih
Tidak ada komentar:
Posting Komentar